Ban đầu

Phần lớn lý thuyết số giải tích được lấy cảm hứng từ định lý số nguyên tố. Đặt π(x) là hàm đếm số nguyên tố cho số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x, với bất kỳ số thực x nào. Ví dụ: π(10) = 4 vì có bốn số nguyên tố (2, 3, 5 và 7) nhỏ hơn hoặc bằng 10. Định lý số nguyên tố sau đây nói rằng x/ln(x) là một xấp xỉ tốt với π (x), theo nghĩa là giới hạn của thương số giữa hai hàm π(x) và x/ln(x) khi x tiếp cận vô cùng, bằng 1:

lim x → ∞ π ( x ) x / ln ⁡ ( x ) = 1 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}

được gọi là quy luật tiệm cận của việc phân phối các số nguyên tố.

Adrien-Marie Legendre phỏng đoán vào năm 1797 hoặc 1798 rằng π(a) được tính gần đúng bằng hàm a/(A ln (a) + B), trong đó A và B là các hằng số chưa xác định. Trong ấn bản thứ hai của cuốn sách về lý thuyết số (1808), sau đó ông đã đưa ra một phỏng đoán chính xác hơn, với A = 1 và B = −1.08366. Carl Friedrich Gauss đã xem xét cùng một bài toán trên: "Im Jahr 1792 oder 1793", theo hồi ức của chính ông gần sáu mươi năm sau trong một lá thư gửi Encke (1849), ông đã viết trong bảng logarit của mình (lúc đó ông mới 15 hoặc 16) với lưu ý rằng "Primzahlen unter a ( = ∞ ) a ln ⁡ a {\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}} ". Nhưng Gauss không bao giờ công bố phỏng đoán này. Vào năm 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet đã đưa ra hàm gần đúng của riêng mình, tích phân logarit li(x) (dưới dạng hơi khác của một chuỗi, mà sau đó ông đã truyền đạt lại cho Gauss). Cả hai công thức của Legendre và Dirichlet đều ngụ ý sự tương đương tiệm cận được phỏng đoán giống nhau của π(x) và x/ln(x) đã nêu ở trên, mặc dù hóa ra phép tính gần đúng của Dirichlet tốt hơn đáng kể nếu người ta xem xét sự khác biệt thay vì tỷ lệ giữa chúng.